Calcolo delle Variazioni A

2020-2021

Università di Pisa

Orario


Orario delle lezioni: martedì 09:00-10:45, martedì 16:15-18:00.


Aula C ed il gruppo Teams - 096AA 20/21 - CALCOLO DELLE VARIAZIONI A


Ricevimento: venerdì 18:00-19:00 sul gruppo teams.

Dispense


Capitolo 1. Introduzione.
Spazi di Sobolev, formulazione debole di problemi ellittici, teoremi di confronto.


Capitolo 1. Parte 1. Spazi di Sobolev in un dominio aperto


Capitolo 1. Parte 2. Teoremi di approssimazione


Capitolo 1. Parte 3. Gli spazi H1


Capitolo 1. Parte 4. Inf, sup e gradiente


Capitolo 1. Parte 5. Esistenza di soluzioni deboli in domini limitati


Capitolo 1. Parte 6. Operatore risolvente, autovalori e autofunzioni


Capitolo 1. Parte 7. Principio del massimo debole e teoremi di confronto


Capitolo 1. Parte 8. Esercizi e complementi


Capitolo 1. Parte 9. Soluzioni con dato al bordo non nullo


Capitolo 1. Osservazione sul principio del massimo debole per operatori monotoni.


Capitolo 1. Esercizio sugli spazi di Sobolev, l'inclusione compatta e la disuguaglianza di Poincaré.


Capitolo 1. Parte 10. Teorema della regolarità ellittica. (File complementare, non fatto a lezione.)


Capitolo 2. Limitatezza e continuità delle soluzioni.


Capitolo 2. Parte 1. Disuguaglianza di Gagliardo-Nirenberg-Sobolev.


Capitolo 2. Parte 2. Iterazione di De Giorgi e limitatezza delle soluzioni.


Capitolo 2. Parte 3. Funzioni armoniche su insiemi aperti.


Capitolo 2. Parte 4. Teorema della traccia.


Capitolo 2. Parte 5. Teorema della media.


Capitolo 2. Parte 6. Disuguaglianza di Harnack, oscillazione e continuità Holder delle soluzioni.


Capitolo 2. Parte 7. Teorema di De Giorgi (versione aggiornata).
La vecchia versione del file è scaricabile qui .


Capitolo 2. Parte 8. Continuità Holder via la proprietà della media.

Registro
delle lezioni


Lezione 1 - martedì 02/03/21, dalle 09:00 alle 11:00. Introduzione al corso. Definizione di uno spazio di Sobolev.
Dispense: Capitolo 1. Parte 1.


Lezione 2 - martedì 09/03/21, dalle 09:00 alle 10:45. Convoluzione e teoremi di approssimazione in spazi di Sobolev. Spazi H10 su domini aperti limitati. Teorema di immersione compatta in L2, disuguaglianza di Poincaré con costante che dipende dal diametro.
Dispense: Capitolo 1. Parte 2 e parte 3.


Lezione 3 - martedì 09/03/21, dalle 16:15 alle 18:00. Parte positiva, parte negativa e modulo di una funzione di Sobolev. Se una funzione di Sobolev è costante su un insieme di misura positiva, allora il suo gradiente è nullo quasi-ovunque su quel insieme. Formulazione variazionale di problemi ellittici con dato nullo al bordo. Esistenza e unicità del minimo. Soluzioni deboli e soluzioni in senso delle distribuzioni.
Dispense: Capitolo 1. Parte 4 e Parte 5.


Lezione 4 - martedì 16/03/21, dalle 09:00 alle 10:45. L'operatore risolvente del Laplaciano di Dirichlet in un aperto limitato è un operatore lineare, simmetrico, positivo e compatto. Autofunzioni e autovalori del Laplaciano in un dominio aperto e limitato. Principio del massimo debole per soluzioni con dato nullo al bordo. (La lezione ha subito un ritardo di circa 40 minuti a causa di problemi tecnici.)
Dispense: Capitolo 1. Parte 6 e parte 7.


Lezione 5 - martedì 16/03/21, dalle 16:15 alle 18:00. Principio del massimo debole per operatori monotoni. Principio del massimo debole, barriere e stime della norma L-inifinito delle soluzioni. Definizione di soluzioni deboli con dato al bordo non nullo: formulazione debole, formulazione variazionale e funzioni armoniche. Principio del massimo debole per funzioni armoniche. Teorema della regolarità ellittica - enunciato.
Dispense: Capitolo 1. Parte 7, Parte 8, Parte 9.


Lezione 6 - martedì 23/03/21, dalle 09:00 alle 10:45. Disuguaglianza di Gagliardo-Nirenberg-Sobolev. Immersione compatta di L^2 in H^1_0 per domini di misura finita. Iterazione di De Giorgi e limitatezza delle soluzioni. Limitatezza delle autofunzioni del Laplaciano di Dirichlet in domini di misura finita.
Dispense: Capitolo 2. Parte 1, Parte 2.


Lezione 7 - martedì 23/03/21, dalle 16:15 alle 18:00. Funzioni armoniche in insiemi aperti. Teorema della traccia in una palla di raggio R. Teorema della media. Disuguaglianza di Harnack. Una dimostrazione della stima dell'oscillazione via la disuguaglianza di Harnack.
Dispense: Capitolo 2. Parte 3, Parte 4 (Sezioni 1 e 2, ma abbiamo usato implicitamente il risultato della sezione 3), Parte 5, Parte 6.


Lezione 8 - martedì 30/03/21, dalle 09:00 alle 10:45. Una seconda dimostrazione del decay dell'oscillazione via la disuguaglianza di Harnack. Il decay dell'oscillazione implica la continuità Holder della funzione. Teorema di De Giorgi - enunciato e la stima L^2 - L^(infinito).
Dispense: Capitolo 2. Parte 6, Parte 7.


Lezione 9 - martedì 30/03/21, dalle 16:15 alle 18:00. Teorema di De Giorgi - la dimostrazione completa.
Dispense: Capitolo 2. Parte 7.

Titolare: Bozhidar Velichkov

bozhidar.velichkov[chiocciola]unipi.it