Analisi Matematica II

2020-2021

Università di Pisa

Corso di Laurea - Ingegneria dell'Energia



Analisi Matematica II è la prima parte del corso
Analisi Matematica II e Calcolo Numerico -
titolare Prof.ssa Lidia Aceto
che si occuperà della seconda parte dedicata al calcolo numerico.

La prima parte si svolgerà nel primo semestre in modalità telematica.

NEWS


Orario delle lezioni in modalità telematica (settimana 28/09-02/10):
mercoledì 15:15-18:15, venerdì 08:30-10:30.


Gruppo Teams - 717AA 20/21 ANALISI MATEMATICA II E CALCOLO NUMERICO [IGT-L]


Una guida su come seguire le lezioni a distanza è disponibile qui.


Ricevimento (sempre in modalità telematica): venerdì, dalle 16 alle 17.

Dispense


Capitolo 1. Topologia. Parte 1.


Capitolo 1. Topologia. Parte 2. Insiemi aperti e insiemi chiusi.


Capitolo 1. Topologia. Parte 3. Insiemi numerabili.


Capitolo 1. Topologia. Parte 4. Insiemi compatti e funzioni continue.


Capitolo 1. Topologia. Parte 5. Insiemi connessi.


Capitolo 1. Esercizi.


Capitolo 2. Funzioni. Parte 0. Funzioni derivabili


Capitolo 2. Funzioni. Parte 1. Insiemi convessi e funzioni convesse


                - Sulle funzioni convesse in dimensione uno


Capitolo 2. Funzioni. Parte 2. Polinomi di più variabili.


                - Sulle derivate di una funzione composta


Capitolo 2. Funzioni. Parte 3. Matrice Hessiana.


Capitolo 2. Funzioni. Parte 4. Funzioni differenziabili - interpretazione geometrica (in questa nuova versione ho aggiunto le dimostrazioni di Prop.5 e Prop.7, il resto del file è identico alla versione precedente).


Capitolo 2. Funzioni. Parte 5. Funzioni differenziabili a valori reali.


Capitolo 2. Funzioni. Parte 5(2). Funzioni differenziabili a valori vettoriali.


Capitolo 2. Funzioni. Parte 6. Derivate parziali successive.

Registro
delle lezioni


Lezione 1 - mercoledì 30/09. Introduzione al corso. Programma del corso. Spazio euclideo di dimensione N. Distanza euclidea. Prodotto scalare e le sue proprietà. Disuguaglianza di Cauchy-Schwartz. Disuguaglianza triangolare.
Dispense: Capitolo 1 - parte 1.


Lezione 2 - venerdì 02/10. Insiemi aperti. Definizione. Unione e intersezione di insiemi aperti. Il prodotto (cartesiano) di intervalli aperti è un aperto. Le palle euclidee sono insiemi aperti. Ogni insieme aperto è unione di palle aperte. Il sottografico di una funzione continua è aperto. Insiemi chiusi: definizione. Unione e intersezione di insiemi chiusi. Insiemi chiusi e insiemi chiusi per successioni. Esempi.
Dispense: Capitolo 1 - parte 2 - sezione 'Aperti' e sezione 'Chiusi'.


Lezione 3 - mercoledì 07/10. Parte interna, chiusura e bordo. Definizione della parte interna; caratterizzazione dei punti della parte interna. Chiusura di un insieme. Caratterizzazione dei punti della chiusura come limiti di successioni. Bordo di un insieme - definizione e caratterizzazione dei punti di bordo. Insiemi numerabili - definizione. I sottoinsiemi di un insieme numerabile sono insiemi numerabili. Il prodotto (cartesiano) di due insiemi numerabili è un insieme numerabile. L'insieme dei numeri interi è un insieme numerabile. L'insieme dei numeri razionali è numerabile. I punti con coordinate razionali sono un insieme numerabile. Teorema: I numeri reali non sono numerabili. Insiemi compatti - definizione con ricporimenti. Gli insiemi compatti sono chiusi e limitati. Gli insiemi chiusi e limitati sono compatti.
Dispense: Capitolo 1 - parte 2 - sezione "Parte interna, chiusura e bordo", parte 3 'Insiemi numerabili' e parte 4 - sezione 'Insiemi compatti'.


Lezione 4 - venerdì 09/10. Gli insiemi compatti per successioni sono compatti (per ricoprimenti). Funzioni continue e le loro proprietà. La somma di due funzioni continue è continue. Prodotto scalare di due funzioni continue. Composizione di due funzioni continue. Funzioni continue definite su compatti. Teorema di Weierstrass. Insiemi connessi per archi. Funzioni continue definite su insiemi connessi per archi. Teorema del valore intermedio.
Dispense: Capitolo 1 - parte 4 e parte 5. Le due sezioni 'Esercizi' nella parte 4 sono state aggiunte dopo la lezione.


Lezione 5 - mercoledì 14/10. Insiemi aperti connessi e connessi per archi. Funzioni di più variabili. Funzioni derivabile. Definizione del gradiente. Funzioni derivabili con gradiente nullo. La funzione distanza a un chiuso. Continuità della funzione distanza. Insiemi convessi - definizione. Intersezioni di insiemi convessi. Parte interna e chiusura di insiemi convessi. Funzioni convesse. Sottolivelli di una funzione convessa. Minimi di una funzione convessa. La funzione distanza a un convesso è convessa. Continuità della funzioni convesse - con dimostrazione in dimensione uno e in dimensione due.
Dispense: Capitolo 1 - parte 4 - sezione 'Esercizi' (funzione distanza), Capitolo 1 - parte 5 - connessi e connessi per archi, Capitolo 2 - parte 0, Capitolo 2 - parte 1 - convessi.


Lezione 6 - venerdì 16/10. Polinomi di una e due variabili. I polinomi come funzioni. Polinomi di una variabile. Definizione e principio di identità tra polinomi. Polinomi di due variabili. Definizione e principio di identità tra polinomi. Insiemi degli zeri di polinomi di due variabili: unione, intersezione, traslazione, rotazione. Rotazioni e traslazioni nel piano. Caratterizzazione dei polinomi che si annullano su una retta. Caratterizzazione dei polinomi che si annullano su un cerchio. Limiti all'infinito: esempi.
Dispense: Capitolo 2 - parte 2.


Lezione 7 - mercoledì 21/10. Limiti all'infinito: esercizi. Funzioni omogenee - definizione. Caratterizzazione dei polinomi omogenei in dimensione due: l'omogeneità di un polinomio omogeneo e pari al suo grado. Polinomi 1-omogenei. Gradiente. Sviluppo di Taylor al primo ordine (in zero) di un polinomio qualsiasi. Polinomi 2-omogenei. Matrice hessiana. Sviluppo di Taylor al primo ordine (in zero) di un polinomio qualsiasi. Minimi relativi: condizioni necessarie e sufficienti. Polinomi omogenei e le funzioni trigonometriche. Polinomi convessi. Il grado di un polinomio convesso.
Dispense: Capitolo 2 - parte 2.


Lezione 8 - venerdì 23/10. Polinomi convessi e derivate parziali: esercizi ed esempi. Matrici hessiane e convessità - condizione necessaria e sufficiente per la convessità di un polinomio. La derivata di una funzione composta (ottenuta come la composizione di una curva derivabile ed un polinomio di due variabili). Matrici semidefinite positive in dimensione due. Condizione necessaria e sufficiente in termini dei coefficienti ed il determinante di una matrice. Riscalamenti, continuità e convergenza uniforme.
Dispense: Capitolo 2 - parte 2, Capitolo 2 - parte 3, Capitolo 2 - parte 4.


Lezione 9 - mercoledì 28/10. Funzione differenziabile - definizione. Interpretazione geometrica della differenziabilità. Differenziabilità (nell'origine) di una funzione 1-omogenea. Esempio di una funzione omogenea, derivabile, ma non differenziabile in zero. Le funzioni differenziabili sono continue. Teorema del differenziale (una funzione derivabile con derivate continue è differenziabile). Derivabilità della composizione di due funzioni differenziabili. Derivate direzionali. Esempio di una funzione derivabile in tutte le direzioni, ma non continua.
Dispense: Capitolo 2 - parte 4, Capitolo 2 - parte 5.


Lezione 10 - venerdì 30/10. Esempio di una funzione continua, derivabile in tutte le direzioni, ma non differenziabile. Derivate parziali di ordine superiore. Teorema di Schwarz. Teorema di Taylor - sviluppo di Taylor al secondo ordine.
Dispense: Capitolo 2 - parte 5, Capitolo 2 - parte 6.

Calendario accademico

Orario delle lezioni

Docente: Bozhidar Velichkov

bozhidar.velichkov[chiocciola]unipi.it