Analisi Matematica II

2020-2021

Università di Pisa

Corso di Laurea - Ingegneria dell'Energia



Analisi Matematica II è la prima parte del corso
Analisi Matematica II e Calcolo Numerico -
titolare Prof.ssa Lidia Aceto
che si occuperà della seconda parte dedicata al calcolo numerico.

La prima parte si svolgerà nel primo semestre in modalità telematica.

NEWS


Compitino 1.
venerdì 29/1/2021 alle 16:00.


Compitino 2.
venerdì 26/2/2021 alle 15:00.


Simulazione esame gennaio 2021.
venerdì 8/1/2021 alle 15:00.


Ricevimento e simulazione d'esame:
venerdì 8/1/2021 alle 15:00.


Definizioni e teoremi da sapere.


Esercizi sulle funzioni differenziabili.


Esercizi sull'integrazione di funzioni e forme differenziali.

Orario


Orario delle lezioni in modalità telematica:
mercoledì 15:15-18:15, venerdì 08:30-10:30.


Gruppo Teams - 717AA 20/21 ANALISI MATEMATICA II E CALCOLO NUMERICO [IGT-L]


Una guida su come seguire le lezioni a distanza è disponibile qui.


Ricevimento (sempre in modalità telematica): venerdì, dalle 16 alle 17.

Dispense


Capitolo 1. Topologia. Parte 1.


Capitolo 1. Topologia. Parte 2. Insiemi aperti e insiemi chiusi.


Capitolo 1. Topologia. Parte 3. Insiemi numerabili.


Capitolo 1. Topologia. Parte 4. Insiemi compatti e funzioni continue.


Capitolo 1. Topologia. Parte 5. Insiemi connessi.


Capitolo 1. Esercizi.


Capitolo 2. Funzioni. Parte 0. Funzioni derivabili


Capitolo 2. Funzioni. Parte 1. Insiemi convessi e funzioni convesse


                - Sulle funzioni convesse in dimensione uno


Capitolo 2. Funzioni. Parte 2. Polinomi di più variabili.


                - Sulle derivate di una funzione composta


Capitolo 2. Funzioni. Parte 3. Matrice Hessiana.


Capitolo 2. Funzioni. Parte 4. Funzioni differenziabili - interpretazione geometrica (in questa nuova versione ho aggiunto le dimostrazioni di Prop.5 e Prop.7, il resto del file è identico alla versione precedente).


Capitolo 2. Funzioni. Parte 5. Funzioni differenziabili a valori reali.


Capitolo 2. Funzioni. Parte 6. Derivate parziali successive.


Capitolo 2. Funzioni. Parte 7. Massimi e minimi relativi.


Capitolo 2. Funzioni. Parte 8. Teorema della funzione implicita.


Capitolo 2. Funzioni. Parte 9. Funzioni differenziabili a valori vettoriali.


Capitolo 2. Funzioni. Parte 10. Teorema della funzione inversa.


Capitolo 3. Equazioni differenziali ordinarie. Parte 1. Unicità.


Capitolo 3. Equazioni differenziali ordinarie. Parte 2. Esistenza.


Capitolo 3. Equazioni differenziali ordinarie. Parte 3. Seno, coseno e pi greco.


Capitolo 3. Equazioni differenziali ordinarie. Parte 4. Curve rettificabili.


Capitolo 3. Equazioni differenziali ordinarie. Parte 5. Coordinate polari.


Capitolo 4. Forme differenziali. Parte 1. Definizione e proprietà.


Capitolo 4. Forme differenziali. Parte 2. Forme esatte e forme chiuse.


Capitolo 4. Forme differenziali. Parte 3. Curve nel piano e nello spazio.


Capitolo 4. Forme differenziali. Parte 4. Curve equivalenti e parametrizzazioni.


Capitolo 4. Forme differenziali. Parte 5. Integrazione su curve.


Capitolo 4. Forme differenziali. Parte 6. Forme chiuse e forme esatte su rettangoli.


Capitolo 4. Forme differenziali. Parte 7. Forme chiuse e forme esatte su aperti semplicemente connessi.


Capitolo 4. Forme differenziali. Parte 8. Diffeomorfismi e forme differenziali. Il toro non è una palla.


Capitolo 4. Forme differenziali. Parte 9. Forme differenziali e campi vettoriali.


Capitolo 5. Integrazione. Parte 1. Integrale di Riemann.

Registro
delle lezioni


Lezione 1 - mercoledì 30/09. Introduzione al corso. Programma del corso. Spazio euclideo di dimensione N. Distanza euclidea. Prodotto scalare e le sue proprietà. Disuguaglianza di Cauchy-Schwartz. Disuguaglianza triangolare.
Dispense: Capitolo 1 - parte 1.


Lezione 2 - venerdì 02/10. Insiemi aperti. Definizione. Unione e intersezione di insiemi aperti. Il prodotto (cartesiano) di intervalli aperti è un aperto. Le palle euclidee sono insiemi aperti. Ogni insieme aperto è unione di palle aperte. Il sottografico di una funzione continua è aperto. Insiemi chiusi: definizione. Unione e intersezione di insiemi chiusi. Insiemi chiusi e insiemi chiusi per successioni. Esempi.
Dispense: Capitolo 1 - parte 2 - sezione 'Aperti' e sezione 'Chiusi'.


Lezione 3 - mercoledì 07/10. Parte interna, chiusura e bordo. Definizione della parte interna; caratterizzazione dei punti della parte interna. Chiusura di un insieme. Caratterizzazione dei punti della chiusura come limiti di successioni. Bordo di un insieme - definizione e caratterizzazione dei punti di bordo. Insiemi numerabili - definizione. I sottoinsiemi di un insieme numerabile sono insiemi numerabili. Il prodotto (cartesiano) di due insiemi numerabili è un insieme numerabile. L'insieme dei numeri interi è un insieme numerabile. L'insieme dei numeri razionali è numerabile. I punti con coordinate razionali sono un insieme numerabile. Teorema: I numeri reali non sono numerabili. Insiemi compatti - definizione con ricporimenti. Gli insiemi compatti sono chiusi e limitati. Gli insiemi chiusi e limitati sono compatti.
Dispense: Capitolo 1 - parte 2 - sezione "Parte interna, chiusura e bordo", parte 3 'Insiemi numerabili' e parte 4 - sezione 'Insiemi compatti'.


Lezione 4 - venerdì 09/10. Gli insiemi compatti per successioni sono compatti (per ricoprimenti). Funzioni continue e le loro proprietà. La somma di due funzioni continue è continue. Prodotto scalare di due funzioni continue. Composizione di due funzioni continue. Funzioni continue definite su compatti. Teorema di Weierstrass. Insiemi connessi per archi. Funzioni continue definite su insiemi connessi per archi. Teorema del valore intermedio.
Dispense: Capitolo 1 - parte 4 e parte 5. Le due sezioni 'Esercizi' nella parte 4 sono state aggiunte dopo la lezione.


Lezione 5 - mercoledì 14/10. Insiemi aperti connessi e connessi per archi. Funzioni di più variabili. Funzioni derivabile. Definizione del gradiente. Funzioni derivabili con gradiente nullo. La funzione distanza a un chiuso. Continuità della funzione distanza. Insiemi convessi - definizione. Intersezioni di insiemi convessi. Parte interna e chiusura di insiemi convessi. Funzioni convesse. Sottolivelli di una funzione convessa. Minimi di una funzione convessa. La funzione distanza a un convesso è convessa. Continuità della funzioni convesse - con dimostrazione in dimensione uno e in dimensione due.
Dispense: Capitolo 1 - parte 4 - sezione 'Esercizi' (funzione distanza), Capitolo 1 - parte 5 - connessi e connessi per archi, Capitolo 2 - parte 0, Capitolo 2 - parte 1 - convessi.


Lezione 6 - venerdì 16/10. Polinomi di una e due variabili. I polinomi come funzioni. Polinomi di una variabile. Definizione e principio di identità tra polinomi. Polinomi di due variabili. Definizione e principio di identità tra polinomi. Insiemi degli zeri di polinomi di due variabili: unione, intersezione, traslazione, rotazione. Rotazioni e traslazioni nel piano. Caratterizzazione dei polinomi che si annullano su una retta. Caratterizzazione dei polinomi che si annullano su un cerchio. Limiti all'infinito: esempi.
Dispense: Capitolo 2 - parte 2.


Lezione 7 - mercoledì 21/10. Limiti all'infinito: esercizi. Funzioni omogenee - definizione. Caratterizzazione dei polinomi omogenei in dimensione due: l'omogeneità di un polinomio omogeneo e pari al suo grado. Polinomi 1-omogenei. Gradiente. Sviluppo di Taylor al primo ordine (in zero) di un polinomio qualsiasi. Polinomi 2-omogenei. Matrice hessiana. Sviluppo di Taylor al primo ordine (in zero) di un polinomio qualsiasi. Minimi relativi: condizioni necessarie e sufficienti. Polinomi omogenei e le funzioni trigonometriche. Polinomi convessi. Il grado di un polinomio convesso.
Dispense: Capitolo 2 - parte 2.


Lezione 8 - venerdì 23/10. Polinomi convessi e derivate parziali: esercizi ed esempi. Matrici hessiane e convessità - condizione necessaria e sufficiente per la convessità di un polinomio. La derivata di una funzione composta (ottenuta come la composizione di una curva derivabile ed un polinomio di due variabili). Matrici semidefinite positive in dimensione due. Condizione necessaria e sufficiente in termini dei coefficienti ed il determinante di una matrice. Riscalamenti, continuità e convergenza uniforme.
Dispense: Capitolo 2 - parte 2, Capitolo 2 - parte 3, Capitolo 2 - parte 4.


Lezione 9 - mercoledì 28/10. Funzione differenziabile - definizione. Interpretazione geometrica della differenziabilità. Differenziabilità (nell'origine) di una funzione 1-omogenea. Esempio di una funzione omogenea, derivabile, ma non differenziabile in zero. Le funzioni differenziabili sono continue. Teorema del differenziale (una funzione derivabile con derivate continue è differenziabile). Derivabilità della composizione di due funzioni differenziabili. Derivate direzionali. Esempio di una funzione derivabile in tutte le direzioni, ma non continua.
Dispense: Capitolo 2 - parte 4, Capitolo 2 - parte 5.


Lezione 10 - venerdì 30/10. Esempio di una funzione continua, derivabile in tutte le direzioni, ma non differenziabile. Derivate parziali di ordine superiore. Teorema di Schwarz. Teorema di Taylor - sviluppo di Taylor al secondo ordine.
Dispense: Capitolo 2 - parte 5, Capitolo 2 - parte 6.


Lezione 11 - mercoledì 4/11. Teorema di Taylor - sviluppo di Taylor al secondo ordine. Massimi e minimi relativi - condizioni necessarie e sufficienti al secondo ordine. Teorema di Dini - teorema della funzione implicita. Teorema dei moltiplicatori di Lagrange. Esempi.
Dispense: Capitolo 2 - parte 6, Capitolo 2 - parte 8, Capitolo 2 - parte 7 invece contiene esercizi sui massimi e minimi relativi.


Lezione 12 - venerdì 6/11. Funzioni differenziabili a valori vettoriali - definizioni. Richiami sulla rappresentazione matriciale della funzioni lineari. Condizione necessaria e sufficiente per la differenziabilità di una funzione a valori vettoriali. Matrice jacobiana. Teorema del differenziale per funzioni a valori vettoriali. Teorema della funzione inversa - parte prima della dimostrazione.
Dispense: Capitolo 2 - parte 9, Capitolo 2 - parte 10.


Lezione 13 - mercoledì 11/11. Teorema della funzione inversa in dimensione due - la dimostrazione completa. Diffeomorfismi. Aperti diffeomorfi.
Dispense: Capitolo 2 - parte 9, Capitolo 2 - parte 10.


Lezione 14 - venerdì 13/11. Equazioni differenziali ordinarie - introduzione e definizioni. Funzioni Lipschitziane. Le funzioni differenziabili con derivate parziali continue sono Lipschitziane. Teorema di unicità della soluzione e le sue applicazioni. Punti stazionari - definizione. Esempio di non-unicità della soluzione. Intervallo massimale di esistenza - definizione.
Dispense: Capitolo 3 - parte 1.


Lezione 15 - mercoledì 18/11. Convergenza uniforme. Il limite uniforme di una successione di funzioni continue è una funzione continua. Le successioni di Cauchy convergono uniformemente. Equazioni differenziali ordinarie - teorema di Cauchy-Lipschitz.
Dispense: Capitolo 3 - parte 1, Capitolo 3 - parte 2.


Lezione 16 - venerdì 20/11. Equazioni differenziali ordinarie - esempi di studi qualitativi. Integrali primi. Definizione di seno, coseno e pi greco. Il coseno è una funzione dispari. Il seno è una funzione pari.
Dispense: Capitolo 3 - parte 1. Capitolo 3 - parte 3.


Lezione 17 - mercoledì 25/11. Definizione di seno, coseno e pi greco. Periodo delle funzioni seno e coseno. Curve rettificabili. Lunghezza di una curva. Integrazione secondo Riemann in dimensione uno. Teorema: Le curve di classe C1 sono rettificabili (con dimostrazione in dimensione due). Applicazione: Calcolo della lunghezza di una circonferenza. Coordinate polari.
Dispense: Capitolo 3 - parte 3. Capitolo 3 - parte 4. Capitolo 3 - parte 5.


Lezione 18 - venerdì 27/11. Gradiente e laplaciano in coordinate polari. Sistemi di equazioni differenziali in coordinate polari. Esempi di studi qualitativi. Forme differenziali: 1-forme definite su insiemi aperti - definizione.
Dispense: Capitolo 3 - parte 5. Capitolo 4 - parte 1


Lezione 19 - mercoledì 2/12. Forme differenziali definite su insiemi aperti. 0-forme, 1-forme e 2-forme nel piano. 0-forme, 1-forme, 2-forme, 3-forme nello spazio tre-dimensionale. k-forme nello spazio di dimensione n. Operazione con le forme - somma e prodotto con una funzione. Prodotto esterno di forme. Differenziale di una funzione. Derivata esterna di una forma. Forme chiuse - definizione. 1-forme chiuse nel piano - definizione equivalente. 1-forme chiuse nello spazio - definizione equivalente; rotore di un campo. 2-forme chiuse nello spazio - definizione equivalente - divergenza. Prodotto esterno di due 1-forme nello spazio - interpretazione geometrica. Forme esatte - definizione. 1-forme esatte. 2-forme esatte nello spazio - formulazione equivalente. Teorema: Le forme esatte sono chiuse. Campi elettrici e campi magnetici come 1- e 2-forme nello spazio. Curve nel piano e nello spazio - curve chiuse, curve semplici, curve C1 a tratti - definizioni. Una prima nozione di curve equivalenti. Concatenamento di due curve. Curve opposte.
Dispense: Capitolo 4 - parte 1. Capitolo 4 - parte 2. Capitolo 4 - parte 3, Capitolo 4 - parte 9.


Lezione 20 - venerdì 4/12. Curve equivalenti. Curve parametrizzate rispetto alla lunghezza d'arco. Teorema: una curva C1 può sempre essere parametrizzata rispetto alla lunghezza d'arco. Integrale di una funzione continua su una curva C1 a tratti - definizione e proprietà. Integrale di una 1-forma su una curva C1 a tratti - definizione e proprietà. Integrale di una 1-forma esatta. Integrale di una 1-forma esatta su curve con gli stessi estremi. Integrale di una 1-forma esatta su una curva chiusa. Teorema: Se l'integrale di una 1-forma dipende solo dagli estremi della curva, allora la forma è esatta. Teorema: In un rettangolo le 1-forme chiuse sono esatte - parte 1 della dimostrazione.
Dispense: Capitolo 4 - parte 4. Capitolo 4 - parte 5. Capitolo 4 - parte 6.


Lezione 21 - mercoledì 9/12. Teorema: In un rettangolo le 1-forme chiuse sono esatte - parte 2 della dimostrazione. Integrazione sotto il segno dell'integrale. Teorema di Cantor e funzioni uniformemente continue. Pull-back di 1-forme - definizione. Il pull-back di una 1-forma chiusa è una forma chiusa. Pull-back e integrazione su curve. Teorema: R+xR e R2\(0,0) non sono diffeomorfi. Aperti stellati - definizione. Teorema: Le 1-forme chiuse su un aperto stellato sono esatte.
Dispense: Capitolo 4 - parte 6. Capitolo 4 - parte 7. Capitolo 4 - parte 8.


Lezione 22 - venerdì 11/12. Insiemi semplicemente connessi - definizione. Integrazione di una 1-forma chiusa su due curve omotopicamente equivalenti. Teorema: In un aperto semplicemente connesso, le 1-forme chiuse sono esatte. Integrazione di Riemann in Rn. Integrazione su rettangoli. Partizioni. Somme di Riemann.
Dispense: Capitolo 4 - parte 7. Capitolo 5 - parte 1.


Lezione 23 - mercoledì 16/12. Integrale di Riemann su rettangoli. Partizioni e raffinamenti. Somme parziali superiori e somme parziali inferiori. Integrale di Riemann superiore e integrale di Riemann inferiore. Funzioni integrabili - definizione. Criteri di integrabilità. Le funzioni continue sono integrabili. Le funzione continue su un dominio regolare sono integrabili. Le funzioni continue su un dominio normale sono integrabili. Teorema di Fubini in rettangoli e in domini normali.
Dispense: Capitolo 5 - parte 1.


Lezione 24 - venerdì 18/12. Teorema della divergenza in domini regolari e domini normali del piano. Vettore normale uscente. L'area di un disco nel piano. Formula di Stokes in domini regolari e domini normali del piano. Orientazione del bordo: curve che parametrizzano il bordo in senso antiorario. Esempi.
Dispense: appunti disponibili sulla pagina del gruppo teams.

Calendario accademico

Orario delle lezioni

Docente: Bozhidar Velichkov

bozhidar.velichkov[chiocciola]unipi.it